Operacje naturalne
W 1906, język Goethego matematyk Gerhard Hessenberg[2] wprowadził duet dodatkowe operacje na liczbach porządkowych: naturalną sumę oraz naturalny produkt. kiedy niekiedy operacje te są nazywane sumą Hessenberga oraz produktem Hessenberga, odpowiednio. Są one zdefiniowane w taki sposób, że przedstawiamy dane liczby porządkowe w postaci normalnej Cantora oraz działania wykonujemy traktując te rozwinięcia jakby uprzedni formalnymi wielomianami zmiennej ω.
Niech α oraz β będą liczbami porządkowymi. na mocy twierdzenia Cantora o postaci normalnej możemy przyuważyć liczby naturalne oraz oraz liczby porządkowe takie, że
oraz .Określamy dzisiaj sumę naturalną α( + )β przez
.Definicja produktu naturalnego jest trochę w wyższym stopniu skomplikowana: traktujemy wyrażenia oraz jakby przedstawiały wielomiany zmiennej ω. na rzecz każdej pary liczb naturalnych rozważamy liczbę (zwróćmy uwagę że w wykładniku potęgi mamy operację sumy naturalnej). wyrób żywiołowy jest oznaczony jak suma (w sensie +) wszystkich wyrażeń postaci uporządkowanych tak, że wykładniki maleją.
Obie operacje, ( + ) oraz , są przemienne oraz łączne. Zauważmy, że
jednakże , oraz jednakże .