Dodawanie i mnożenie: definicje konstrukcyjne
Operacje "+" oraz "·" na liczbach porządkowych jest dozwolone wprowadzić przez pewne konstrukcje zbiorów akuratnie uporządkowanych.
Przypuśćmy, że oraz są dobymi porządkami. na rzecz uproszczenia opisu załóżmy też, że zbiory A oraz B są rozłączne. Określamy:
- , gdzie jest relacją binarną na zdefiniowaną przez
- , gdzie jest relacją binarną na produkcie zdefiniowaną przez
Łatwo jest dozwolone sprawdzić, że podobnie jak jak oraz są dobrymi porządkami.
wartość porządkowa : każda kreska pionowa przedstawia liczbę porządkową wobec ω·ω - kreski te odpowiadają liczbom postaci ω·m+n gdzie m oraz n są liczbami naturalnymi.Dla liczb porządkowych α,β określamy
- sumę α + β jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem akuratnie uporządkowanym , gdzie są rozłącznymi kopiami α oraz β, odpowiednio;
- iloczyn jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem akuratnie uporządkowanym , gdzie są kopiami α oraz β, odpowiednio.